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    2024年成人高考专升本高数二备考笔记及知识点梳理

    王世忠 2024-06-24 09:14:58

    成人高考专升本需要考政治、外语和一门专业课程,报考成人高考专升本单科成绩满分为150分,经济学、管理学以及职业教育类、生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类、药学类(除中药学类外)等六个一级学科需要考政治、外语、高数(二)。

    2024年成人高考专升本高数二备考笔记及知识点梳理

    成人高考专升本高数二考点整理

    考点1 古典概型

    (1)古典概型

    如果随机试验E的样本空间Ω具有如下特征:

    ①有限性--Ω中只含有有限个基本事件;

    ②等可能性——每个基本事件发生的可能性相同.那么称这样的随机试验对应的概率模型为古典概型。

    如,掷硬币、掷骰子的试验等均属古典概型

    (2)古典概型中随机事件的概率计算公式

    设古典概型中随机试验E的样本空间Ω由n个基本事件组成,而随机事件A包含k(≤n)个基本事件,则事件A发生的概率为P(A)=k/n。

    考点2 概率的公理化定义

    设E为一随机试验,Ω是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称P(A)为事件A的概率,如果它满足下列条件:

    (1)非负性:对任一事件A,有0≤P(A)≤1;

    (2)规范性:P(Ω)=1,P(ϕ)=0;

    (3)可列可加性:对于两两互斥的可列个随机事件A₁,A₂,…,An,…,有

    P(A₁+A₂+…+An+…)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(An)+…

    考点3 概率的性质

    (1)0≤P(A)≤1,P(ϕ)=0.

    (2)对于任意事件A,B有

    P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).

    特别地,当A与B互不相容时,P(A∪B)=P(A)+P(B).

    其可推广:对于任意事件A,B,C有

    P(A∪B∪C) =P(A) +P(B) +P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) +P(ABC) .

    当A₁,A₂,…,An,互不相容时,

    P(A₁∪A₂∪…∪ An) =P(A₁) +P(A₂) +…+P(A),其中n为正整数.

    (3)P(B-A)=P(B)-P(AB).

    特别地,当ACB时,P(B-A)=P(B)-P(A),且P(A)≤P(B).

    (4)P(A')=1-P(A).

    以上概率性质很重要.希望考生掌握这些性质,并会用它们进行概率的基本运算。

    条件极值的求法

    先构造拉格朗日函数:F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y).

    求解方程组

    Fₓ=fₓ(x,y)+λϕₓ(x,y)=0,

    Fᵧ=fᵧ(x,y)+λϕᵧ(x,y)=0,

    Fλ=ϕ(x,y)=0;

    解出x,y,λ,则其中点(x,y)就是z=f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的可能极值点的坐标.

    求二元函数的无条件极值及极值点

    求二元函数的无条件极值的步骤:

    第一步:求fₓ(x,y),fᵧ(x,y),并解方程组fₓ(x,y)=0;fᵧ(x,y)=0求得一切驻点;

    第二步:对于每一个驻点(x₀,y₀),求出二阶偏导数的值A,B和C;

    第三步:定出B²-AC的符号,判定点(x₀,y₀)是否是极值点,若是,判定是极大值点还是极小值点,并求出极值f(x₀,y₀).

    求二元函数的条件极值

    求二元函数f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的极值的方法与步骤:

    方法一:化条件极值为无条件极值

    第一步:从条件ϕ(x,y)=0中,求出y的显函数形式y=ψ(x);

    第二步:将y=ψ(x)代人二元函数f(x,y)中,化为一元函数f[x,ψ(x)]的无条件极值;

    第三步:求出一元函数f[x,ψ(x)]的极值即为所求.

    方法二:拉格朗日乘数法

    第一步:作拉格朗日函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)(入为拉格朗日乘数);

    第二步:由函数F(x,y,λ)的一阶偏导数组成如下方程组

    Fₓ(x,y,λ)=fₓ(x,y)+λϕₓ(x,y)=0,

    Fᵧ(x,y,λ)=fᵧ(x,y)+λϕᵧ(x,y)=0,

    Fλ(x,y,λ)=ϕ(x,y)=0;

    第三步:求解上述方程组,得驻点(x₀,y₀,λ),则点(x₀,y₀)就是函数f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的可能的条件极值点。

    通常,判定所得点(x₀,y₀)是否为所给问题的条件极值点,常依据问题的实际意义判定:如果所求驻点唯一,且实际问题的确存在最大值(或最小值),那么,所求点(x₀,y₀)就是满足条件的极大值点(或极小值点),也是所给实际问题的最大值点(或最小值点)。

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